[포스코 청년 AI·Big Data] 선형대수 3. 기저와 차원

 

 

 

포스코 청년 AI·Big Data 아카데미 사전교육 중 장황수학의 선형대수 강의를 듣고 손으로 필기한 내용입니다.

 

https://www.youtube.com/watch?v=oHobZ93WBLY&list=PLxMkK1K0XECOj2sZG-gCk-CjvZhJ_75I4&index=3 

 

3. 기저와 차원

1. 표준기저(유일)

$ \mathbb{R}^2 = \{ (1, 0), (0, 1)\}$

$ \mathbb{R}^3 = \{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}$

$ \mathbb{M}_(2*2) = \{e_1, e_2, e_3, e_4\} $

\begin{align*} e_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ e_2 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ e_3 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \\ e_4 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{align*}

$ P_n = \{ p_0(x), p_1(x), p_2(x), \ldots, p_n(x) \} $

\begin{align*}
p_0(x) &= 1, \\
p_1(x) &= x, \\
p_2(x) &= x^2, \\
&\vdots \\
p_n(x) &= x^n.
\end{align*}

 

2. 기저의 개수 = 차원

* 기저는 바뀔 수 있지만 기저의 개수는 바뀌지 않는다. 따라서 이 성질을 이용하여 문제를 풀기도 한다.

 

3. 좌표벡터

$ S= \{v_1, v_2, ...,  v_n\} $ 이 벡터공간 V의 기저이면 V에 속하는 모든 벡터 v는 적당한 실수 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 에 대해 $ v = a_1v_1 + a_2v_2 + \ldots + a_nv_n $ 으로 나타낼 수 있다.

이때  $ (a_1, a_2, \ldots, a_n) $ 을 기저 S에 대한 v의 좌표벡터(상대좌표, 좌표행렬)이라고 한다.

 

4. 차원

벡터공간 V가 n개의 벡터로 이루어진 기저를 갖는다면,

V의 차원을 n이라고 한다. 또한 V의 차원을 dimV라고 표시한다.

 

벡터공간 V의 기저의 원소개수= 벡터공간 V의 선형 독립이 되는 최대 개수= 벡터공간 V의 차원= dimV

 

$ dim(W_1 + W_2)  = dim(W_1) + dim(W_2) - dim(W_1 \bigcap W_2) $