[포스코 청년 AI·Big Data] 선형대수 3. 기저와 차원

 

 

 

포스코 청년 AI·Big Data 아카데미 사전교육 중 장황수학의 선형대수 강의를 듣고 손으로 필기한 내용입니다.

 

https://www.youtube.com/watch?v=oHobZ93WBLY&list=PLxMkK1K0XECOj2sZG-gCk-CjvZhJ_75I4&index=3 

 

3. 기저와 차원

1. 표준기저$유일$

${\mathbb{R}}^2=\{(1,0),(0,1)\}$

${\mathbb{R}}^3=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$

${\mathbb{M}}_{(}2\ast 2)=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$

$$\begin{array}{rl}{e}_1& =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\\ e_2& =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\\ e_3& =\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),\\ e_4& =\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right).\end{array}$$

$P_n=\{p_0(x),p_1(x),p_2(x),\dots ,p_n(x)\}$

$$\begin{array}{rl}{p}_0(x)& =1,\\ p_1(x)& =x,\\ p_2(x)& =x^2,\\ & ⋮\\ p_n(x)& =x^n.\end{array}$$

 

2. 기저의 개수 = 차원

* 기저는 바뀔 수 있지만 기저의 개수는 바뀌지 않는다. 따라서 이 성질을 이용하여 문제를 풀기도 한다.

 

3. 좌표벡터

$S=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ 이 벡터공간 V의 기저이면 V에 속하는 모든 벡터 v는 적당한 실수 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 에 대해 $v=a_1{v}_1+a_2{v}_2+\dots +a_n{v}_n$ 으로 나타낼 수 있다.

이때  $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 을 기저 S에 대한 v의 좌표벡터$상대좌표, 좌표행렬$이라고 한다.

 

4. 차원

벡터공간 V가 n개의 벡터로 이루어진 기저를 갖는다면,

V의 차원을 n이라고 한다. 또한 V의 차원을 dimV라고 표시한다.

 

벡터공간 V의 기저의 원소개수= 벡터공간 V의 선형 독립이 되는 최대 개수= 벡터공간 V의 차원= dimV

 

$dim(W_1+W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)-dim(W_1\bigcap W_2)$