[포스코 청년 AI·Big Data] 선형대수 6. 벡터와 벡터의 내적

포스코 청년 AI·Big Data 아카데미 사전교육 중 장황수학의 선형대수 강의를 듣고 손으로 필기한 내용입니다.

 

1. 두 벡터 \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \), \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \)의 사잇각 \( \theta \)일 때,
   \[
   \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
   \]
   \[
   \Rightarrow \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
   \]

2. 내적의 성질
   1. \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \)
   2. \( \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \)
   3. \( m(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (m\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (m\vec{b}) \)
   4. \( \vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)
   5. \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \)

3. 정사영 벡터
   - \( \vec{a} \)를 \( \vec{b} \)에 정사영 벡터: \( \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \vec{b} \)
   - 그림으로 표현된 벡터와 정사영