[포스코 청년 AI·Big Data] 선형대수 4. 닮은 행렬, 대각화 행렬

 

 

포스코 청년 AI·Big Data 아카데미 사전교육 중 장황수학의 선형대수 강의를 듣고 손으로 필기한 내용입니다.

https://www.youtube.com/watch?v=Iin-PLpN4V4&list=PLxMkK1K0XECOj2sZG-gCk-CjvZhJ_75I4&index=4 

출처 : 장황수학 $글씨 : 나비스$

4. 닮은 행렬, 대각화 행렬

 

$Q^{-1}AQ=B$

이면 행렬 A와 행렬 B는 닮은 행렬이다.

 

1. 닮은 행렬의 성질

1) 행렬식이 같다.

2) 계수 rank가 같다.

3) trace가 같다.

4) 고유치가 같다.

* 주의) 고유벡터는 보장되지 않는다.

 

2. 행렬의 대각화

$P^{-1}AP=D$

- P : 대각화시키는 행렬 $A의 고유벡터 행렬$

- D : 대각화행렬 $A의 고유치 행렬$

 

 $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$$ 

 

$$det(A)=|\left(\begin{array}{cc}1-\lambda & 2\\ 0& 3-\lambda \end{array}\right)|=0$$

 

${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=3$

 

 $$\left(\begin{array}{cc}1-1& 2\\ 0& 3-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$ 

 

$$v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$

 

 $$\left(\begin{array}{cc}1-3& 2\\ 0& 3-3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$

 

$$v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$

 

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$$

 

3. 행렬의 대각화

P의 역행렬이 존재한다. 

|P|가 0이 아니다. 

고유벡터들이 일차독립이다.

일차독립인 고유벡터의 수가 N개 존재한다.

서로 다른 고유치가 N개 존재한다.

 

4. 고유치가 중근이면, 대각화가 가능할 수도 불가능할 수도 있다.

: 중근의 고유벡터가 두 개 나오는 경우이면 대각화가 가능하다.

 

5. A가 대각화가 가능하면 A의 제곱꼴도 대각화 가능하다.