[포스코 청년 AI·Big Data] 선형대수 4. 닮은 행렬, 대각화 행렬

 

 

포스코 청년 AI·Big Data 아카데미 사전교육 중 장황수학의 선형대수 강의를 듣고 손으로 필기한 내용입니다.

https://www.youtube.com/watch?v=Iin-PLpN4V4&list=PLxMkK1K0XECOj2sZG-gCk-CjvZhJ_75I4&index=4 

출처 : 장황수학 (글씨 : 나비스)

4. 닮은 행렬, 대각화 행렬

 

$ Q^{-1}AQ=B $

이면 행렬 A와 행렬 B는 닮은 행렬이다.

 

1. 닮은 행렬의 성질

1) 행렬식이 같다.

2) 계수 rank가 같다.

3) trace가 같다.

4) 고유치가 같다.

* 주의) 고유벡터는 보장되지 않는다.

 

2. 행렬의 대각화

$ P^{-1}AP=D $

- P : 대각화시키는 행렬 (A의 고유벡터 행렬)

- D : 대각화행렬 (A의 고유치 행렬)

 

 \[A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \] 

 

\[det(A)=|\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 0 & 3-\lambda \\ \end{pmatrix}| =0 \]

 

$ \lambda_1=1 , \lambda_2=3 $

 

 \[\begin{pmatrix} 1-1 & 2 \\ 0 & 3-1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \] 

 

\[ v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \]

 

 \[\begin{pmatrix} 1-3 & 2 \\ 0 & 3-3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \]

 

\[ v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \]

 

\[P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix}\]

 

3. 행렬의 대각화

P의 역행렬이 존재한다. 

|P|가 0이 아니다. 

고유벡터들이 일차독립이다.

일차독립인 고유벡터의 수가 N개 존재한다.

서로 다른 고유치가 N개 존재한다.

 

4. 고유치가 중근이면, 대각화가 가능할 수도 불가능할 수도 있다.

: 중근의 고유벡터가 두 개 나오는 경우이면 대각화가 가능하다.

 

5. A가 대각화가 가능하면 A의 제곱꼴도 대각화 가능하다.